페아노 공리계

자연수의 산술을 형식화하려는 시도는 1860년대 헤르만 그라스만의 연구에서 시작되었다. 이후 1881년 찰스 샌더스 퍼스가 자연수 산술의 공리화를 시도하였고, 1888년 리하르트 데데킨트가 이를 더욱 발전시켰다. 주세페 페아노는 1889년 자신의 저서에서 이들을 정교하게 다듬어 현대적인 형태의 공리계를 제시하였다. 페아노는 고틀로프 프레게의 연구를 모르는 상태에서 독자적인 논리적 도구를 만들어냈으며, 그가 고안한 기호 중 일부는 오늘날에도 표준적으로 사용된다.

페아노는 자연수의 성질을 다루기 전, 동일 관계에 대한 네 가지 공리를 전제하였다. 이는 현대 논리학에서 순수 논리의 공리로 취급된다.

페아노 공리계는 자연수 집합 $N$이 만족해야 할 성질을 규정한다. 일반적으로 다음과 같은 다섯 가지 공리로 요약된다.

1. 0(또는 1)은 자연수이다. 페아노의 원본은 1에서 시작하였으나 현대 집합론과 논리학에서는 보통 0을 포함한다.
2. 모든 자연수 $n$에 대하여, 그 다음 수인 따름수 $S(n)$도 자연수이다.
3. 어떤 자연수의 따름수도 0(또는 1)이 될 수 없다. 즉, 0은 어떤 수의 따름수도 아닌 시작점이다.
4. 두 자연수 $m, n$에 대하여 $S(m) = S(n)$이면 $m = n$이다. 이는 따름수 함수가 단사 함수임을 의미한다.
5. 수학적 귀납법의 원리: 어떤 집합 $K$가 0을 포함하고, 모든 $n \in K$에 대하여 $S(n) \in K$이면, $K$는 모든 자연수를 포함한다.

페아노의 공리들은 성격에 따라 구분된다. 처음 네 공리는 동일성에 대한 일반적 명제이며, 이후 네 공리는 따름수 연산의 성질을 1차 논리로 표현한 것이다. 마지막 아홉 번째 공리인 수학적 귀납법은 본래 2차 논리의 명제이다.

이 수학적 귀납법 공리를 1차 논리의 공리꼴로 대체하여 만든 체계를 페아노 산술(Peano Arithmetic)이라고 한다. 페아노 산술은 원래의 2차 논리 체계보다 논리적으로 약한 체계로 간주되지만, 자연수의 산술적 성질을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다.

페아노는 수학 기호와 논리 기호를 엄격히 구분하여 사용하였다. 그가 사용한 기호 중 집합의 원소임을 나타내는 기호 $\in$은 그리스 문자 $\epsilon$에서 유래하였으며, 논리적 함의를 나타내는 기호 $\supset$ 역시 그가 고안한 표기법에서 발전한 것이다. 또한 합집합($\cup$)과 교집합($\cap$)에 대한 현대적인 기호도 그의 저술에서 최초로 등장하였다.