맥스웰 방정식

맥스웰 방정식은 전기 및 자기 현상을 설명하는 개별 법칙들을 네 개의 방정식으로 종합한 것이다. 제임스 클러크 맥스웰은 1865년에 이 방정식들을 유도하였으며, 1873년 저서 《전기 자기 논고》를 통해 이를 체계적으로 발표하였다. 이 방정식은 전하와 전류가 어떻게 전기장과 자기장을 만드는지, 그리고 이들 장이 시간에 따라 어떻게 변화하며 서로 영향을 주는지를 수학적으로 나타낸다.

맥스웰 방정식은 다음과 같은 네 가지 법칙으로 구성된다.

1. 가우스 법칙 (전기장에 대한 가우스 법칙): 전하가 전기장의 원천임을 나타낸다. 폐곡면을 통과하는 총 전속은 그 면 내부의 총 전하량에 비례한다. $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$
2. 가우스 자기 법칙: 자기 홀극은 존재하지 않음을 의미한다. 자기장은 항상 N극과 S극이 쌍으로 존재하며, 폐곡면을 통과하는 총 자속은 항상 0이다. $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
3. 패러데이 전자기 유도 법칙: 시간에 따라 변화하는 자기장이 전기장을 생성함을 나타낸다. $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
4. 앙페르-맥스웰 회로 법칙: 전류뿐만 아니라 시간에 따라 변화하는 전기장도 자기장을 생성함을 나타낸다. $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$

맥스웰은 기존의 앙페르 법칙이 콘덴서와 같이 전류가 직접 흐르지 않는 구간에서 자기장이 발생하는 현상을 설명하지 못한다는 점에 의문을 가졌다. 그는 콘덴서 극판 사이에서 변화하는 전기장이 전류와 같은 역할을 한다고 가정하고 이를 '변위 전류(displacement current)'라고 정의하였다. 이 항을 앙페르 법칙에 추가함으로써 전기학과 자기학을 완벽하게 통합할 수 있었다.

맥스웰은 자신의 방정식을 통해 전기장과 자기장의 파동이 공간을 통해 전파될 수 있음을 수학적으로 증명하였다. 이 파동의 속도는 진공의 유전율($\varepsilon_0$)과 투자율($\mu_0$)을 이용하여 다음과 같이 계산된다.

$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$

이 계산 결과가 당시 알려진 빛의 속도와 일치함에 따라, 맥스웰은 빛이 전자기파의 일종이라는 결론을 내렸다. 이는 광학이 전자기학의 한 분야로 통합되는 계기가 되었다.