페아노 공리계

페아노 공리계는 자연수의 성질을 정의하는 다섯 가지 핵심 명제로 구성된다. 일반적으로 다음과 같이 서술된다.

1. 1은 자연수이다.
2. 모든 자연수 $n$에 대하여, 그 다음 수인 따름수 $n'$도 자연수이다.
3. $n' = 1$을 만족하는 자연수 $n$은 존재하지 않는다. 즉, 1은 어떤 자연수의 따름수도 아니다.
4. 두 자연수 $m, n$에 대하여 $m \neq n$이면 $m' \neq n'$이다. 이는 따름수 함수가 단사 함수임을 의미한다.
5. 어떤 집합 $P$가 1을 원소로 가지고, 모든 $n \in P$에 대하여 $n' \in P$가 성립하면, $P$는 모든 자연수를 포함한다. 이는 수학적 귀납법의 원리를 나타낸다.

페아노의 공리들은 성격에 따라 세 종류로 나눌 수 있다. 처음 네 공리는 동일성에 대한 일반적 명제와 따름수 연산의 근본적 성질을 다루며, 현대에는 보통 순수 논리 또는 1차 논리적 명제로 취급된다. 반면, 수학적 귀납법을 표현한 마지막 공리는 본래 2차 논리의 명제이다.

수학적 귀납법 공리를 1차 논리의 공리꼴로 대체하여 만든 체계를 페아노 산술(Peano Arithmetic)이라고 한다. 이는 페아노가 원래 제안했던 2차 논리 체계보다 논리적으로 약한 체계에 해당한다.

페아노가 공리계를 발표할 당시 수리논리학의 언어는 초기 단계에 있었다. 그는 수학 기호와 논리 기호를 엄격히 구분하여 사용했는데, 이는 당시 수학계에서 일반적인 방식이 아니었다.

그가 사용한 논리 표기법 중 일부는 현대에도 널리 쓰이고 있다. 대표적으로 집합의 포함 관계를 나타내는 기호 $\in$은 페아노가 사용한 그리스 문자 $\epsilon$에서 유래하였으며, 논리적 함의를 나타내는 기호 $\supset$ 역시 그가 고안한 기호에서 발전한 것이다.