블랙-숄즈 모형

블랙-숄즈 모형은 파생 투자 기법을 포함한 금융시장의 동학을 설명하는 수학적 모형이다. 주로 유럽형 옵션의 가치를 평가하는 데 이용된다. 경제학자 피셔 블랙과 마이런 숄즈가 1973년 논문을 통해 발표하였으며, 로버트 머튼이 이를 확장하고 정교화하였다. 이 모형의 도입으로 옵션 시장은 급속히 성장하였으며, 시카고 옵션 거래소(CBOE)와 같은 거래소가 활성화되는 계기가 되었다.

블랙-숄즈 모형은 시장 환경에 대해 다음과 같은 핵심적인 가정을 전제로 한다.

• 자산 구성: 시장은 주식과 같은 최소 하나의 위험자산과 현금, 채권과 같은 하나의 안전자산으로 구성된다.
• 무위험 수익률: 안전자산의 수익률은 변화하지 않으며, 이를 무위험 수익률이라 한다.
• 기하학적 브라운 운동: 주식 가격의 순간 로그 수익률은 무한한 임의보행을 따르며, 구체적으로는 기하학적 브라운 운동을 따른다.
• 차익거래 불가: 시장에서 무위험 수익률 이상의 이익을 얻을 수 있는 차익거래 기회는 존재하지 않는다.
• 배당 미지급: 기초자산인 주식은 옵션 만기 전까지 배당을 지급하지 않는다고 가정한다.

모형의 핵심은 파생상품의 가격이 만족해야 하는 편미분 방정식이다. 차익거래가 불가능하다는 원리에 따라 파생상품과 기초자산으로 구성된 포트폴리오의 수익률이 무위험 수익률과 같아야 한다는 점을 이용하여 도출한다.

$\frac{\partial F}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 F}{\partial S^2} + rS \frac{\partial F}{\partial S} = rF$

각 변수의 의미는 다음과 같다.

• $F$: 파생상품(옵션)의 가격
• $S$: 기초자산(주식)의 가격
• $r$: 무위험 이자율
• $t$: 시간
• $\sigma$: 기초자산의 변동성

이 방정식을 풀어 도출된 해가 해당 파생상품의 이론적 가격이 된다.

블랙-숄즈 방정식을 풀면 유럽형 콜 옵션($c$)과 풋 옵션($p$)의 가격을 다음과 같이 산출할 수 있다.

$c = S_{0}N(d_{1}) - Ke^{-rT}N(d_{2})$ $p = Ke^{-rT}N(-d_{2}) - S_{0}N(-d_{1})$

여기서 $d_1$과 $d_2$는 다음과 같이 정의된다.

$d_{1} = \frac{\ln(S_{0}/K) + (r + \sigma^{2}/2)T}{\sigma \sqrt{T}}$ $d_{2} = d_{1} - \sigma \sqrt{T}$

• $S_0$: 현재 주가
• $K$: 행사가격
• $T$: 만기까지의 남은 시간
• $N(x)$: 표준정규분포의 누적분포함수

블랙-숄즈 모형은 옵션의 공정 가치를 산출하는 최초의 체계적인 모형으로 평가받는다. 이 공로로 마이런 숄즈와 로버트 머튼은 1997년 노벨 경제학상을 수상하였다. 피셔 블랙은 1995년에 사망하여 수상 대상에서 제외되었다.

그러나 실제 시장에서는 변동성이 일정하지 않고 주가 수익률이 정규분포를 정확히 따르지 않는 등 모형의 가정과 차이가 발생하는 경우가 많다. 대표적인 현상으로 옵션의 행사가격에 따라 내재변동성이 다르게 나타나는 '변동성 스마일(Volatility Smile)' 현상이 있다.